Может ли участковый получить благодарность в данном случае?

Екатерина, нет, не может. Раскрытие преступлений — одна из первейших и основных обязанностей сотрудника полиции, за это предусмотрены законом оплата труда, стимулирование по службе, предоставление социальных, служебных и иных гарантий государством. 

В соответствии с законодательством о госслужбе, противодействии коррупции, участковому как и иным государственным служащим запрещено 

6) получать в связи с исполнением должностных обязанностей вознаграждения от физических и юридических лиц (подарки, денежное вознаграждение, ссуды, услуги, оплату развлечений, отдыха, транспортных расходов и иные вознаграждения).

В противном случае действия сотрудника полиции и отблагодарившего его лица могут быть квалифицированы как «взяточничество» в соответствии со статьями Уголовного кодекса РФ.

Если есть желание отблагодарить участкового за «доброе дело» (раскрытие квартирной кражи), то лучше в письменном виде на имя его руководства выразить слова искренней благодарности в адрес добросовестного сотрудника полиции.